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2018《成才之路》高一数学(人教A版)必修4教学课件:3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦_图文

发布时间:

成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
三角恒等变换

第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章
第1课时 两角和与差的正弦、余弦

课前自主预* 课堂典例讲练 课后强化作业

课前自主预*

温故知新 1.两角差的余弦公式cos(α-β)=________.
[答案] cosαcosβ+sinαsinβ

2.诱导公式:cos(-α)=________,sin(-α)=

________,cos(

π 2

-α)=________,sin(

π 2

-α)=________,

cos(

π 2

+α)=________,sin(

π 2

+α)=________,cos(π-α)=

________,sin(π-α)=________.

[答案] cosα -sinα sinα cosα -sinα cosα - cosα sinα

3.化简cos65°cos35°+sin65°sin35°的结果( )

A.cos100°

B.sin100°

3

1

C. 2

D.2

[答案] C

4.cosθ=35,θ∈(0,π2),则cos(θ-6π)等于(

)

3 3-4 A. 10

3 3+4 B. 10

3 3-4 C. 5

3 D. 2

[答案] B

新课引入

小王和小李一起去登山,在距山脚200米处停了下来.他 们看见山顶有一个小亭子,小王问小李:“我们距山顶的小 亭子的直线距离是多少?”小李想了半天不知所措,假设已 知他们看山顶小亭子的仰角是75°,且山脚下一点与山顶的连 线与地面*似垂直,你能在不用计算器的情况下计算出来 吗?学*了本课时就可以解决这个问题,为了更加清楚其中 的道理,就让我们一起进入两角和与差的正弦、余弦公式的 学*吧!

自主预* 阅读教材P128-131回答下列问题. 和角、差角公式如下表:

名称

公式

差的正弦 sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ

差的余弦 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

和的正弦 sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ 和的余弦 cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ

简记 S(α-β) C(α-β) S(a+β) C(α+β)

[总结]①与差角的余弦公式一样,公式对分配律不成立,

即sin(α±β)sinα±sinβ,cos(α±β)≠cosα±cosβ,

tan(α±β)≠tanα±tanβ.

②和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公

式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-

1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是

π 2

的整数倍时,通常使用

诱导公式较为方便.

③使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化 简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ时,不要将sin(α+β)和cos(α+ β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cosβ- cos(α+β)sinβ=sin[(α+β)-β]=sinα.这也体现了数学中的整体 原则.

④注意公式的结构特征和符号规律: 对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;对 于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.

3cos1π2-sin1π2的值是(

A.0

B. 2

[答案] C

) C.- 2

D.2

[解析]

3

cos

π 12

-sin

π 12

=2(

3 2

cos

π 12



1 2

sin

π 12

)=2(sin

π 3

cos1π2-cosπ3sin1π2)=2sin(3π-1π2)=2sinπ4= 2.

设α∈(0,π2),若sinα=35,则2sin(α+4π)等于(

)

7 A.5 2

1 B.5 2

7

4

C.5

D.3

[答案] A

[解析]

由α∈(0,

π 2

),且sinα=

3 5

,得cosα=

4 5

.于是2sin(α

+π4)=2(sinαcosπ4+cosαsinπ4)=2×(35×

22+45×

22)=7

5

2 .

将3sinα-3 3cosα,化成Asin(α+φ)的形式.

[解析] 3sinα-3 3cosα



?
9+27??
?

9+3 27sinα-

93+327cosα ????

=6????12sinα- 23cosα????

=6???sinαcosπ3-cosαsinπ3???

=6sin???α-π3???.

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向1 给角求值问题
解决给角求值问题的策略: 解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小,化 “切”为“弦”,统一函数名称,然后观察角的关系以及式子 的结构特点,选择合适的公式进行求值.

化简下列各式: (1)sin14°cos16°+sin76°cos74°
π (2)sin12. [分析] 本题目给出了具体的角求值,根据公式的特点, 解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式.(2)可提出2后 逆用两角和与差的正弦或余弦公式.

[解析] (1)sin14°cos16°+sin76°cos74°

=sin14°cos16°+cos14°sin16°

=sin(14°+16°)=sin30°=12

(2)sin1π2=sin(3π-π4)

=sinπ3cos4π-cos3πsin4π

= 23× 22-12× 22=

6- 4

2 .

规律总结:形如asinx±bcosx的三角函数,可以提取 a2+b2化为 a2+b2sin(x+φ)(或 a2+b2cos(x+φ))的形式.一 定要注意看化成的式子展开后是否符合已知式子.

求下列各式的值: (1)sin347°cos148°+sin77°cos58°; (2) 3sin1π2+cos1π2. [分析] 本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公 式求解,本题(2)可构造两角和的正弦公式求解.

[解析] (1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°

-13°)cos(90°-32°) =sin13°cos32°+cos13°sin32°

=sin(13°+32°)=sin45°=

2 2.

(2)原式=2???? 23sin1π2+12cos1π2???? =2???sin1π2cosπ6+sinπ6cos1π2??? =2sin???1π2+π6???=2sin4π= 2.

规律总结:解答此类题目的方法就是活用、逆用 C(α±β),S(α±β)公式,在解答过程中常会利用诱导公式实现角的 前后统一.

命题方向2 已知三角函数值求值
已知2π<β<α<34π,cos(α-β)=1123,sin(α+β)=- 35,求sin2α的值.
[分析] 由α、β的范围,确定α-β,α+β的范围,求出 sin(α-β)、cos(α+β)的值,再由2α=(α-β)+(α+β)变形求值.

[解析] 因为π2<β<α<34π, 所以0<α-β<4π,π<α+β<32π. 又cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35, 所以sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 1-?1123?2=153, cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- 1-?-35?2=-45.

所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =153×(-45)+1123×(-35)=-5665.

已知cosα=

1 3

,α∈(0,

π 2

),sinβ=-

3 5

,β是第三象限

角.求sin(α+β),sin(α-β)的值.

[分析] 求出sinα、cosβ的值,代入公式S(α±β)即可.

[解析] ∵cosα=13,α∈???0,π2???, ∴sinα= 1-cos2α=23 2. ∵sinβ=-35,β是第三象限角, ∴cosβ=- 1-sin2β=-45. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=23 2×???-45???+13×???-35???

=-3+185

2 .

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

=23 2×???-45???-13×???-35???

=3-185

2 .

建模应用引路
命题方向3 角的范围讨论
在△ABC中,cosA=35,sinB=153,求sinC的值. [分析] △ABC中,C=π-(A+B);已知cosA,sinB可求 sinA、cosB.由sinB求cosB时,因为B可能为钝角,故应讨论确定 cosB的符号.

[解析] 因为A为△ABC的内角且cosA=35, 所以sinA= 1-cos2A=45. 因为B为△ABC的内角,又sinB=153, 所以cosB=± 1-sin2B=±1123. (1)当cosB=1123,即B为锐角时, sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB=45×1123+35×153=6635.

(2)当cosB=-1123,即B为钝角时,

sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)

=sinAcosB+cosAsinB

=45×???-1123???+35×153=-3635.

因为C为△ABC的内角,sinC>0,所以sinC=-

33 65

不合题

意,舍去.综上所述,sinC=6635.

规律总结:由单位圆中的三角函数线易知在△ABC中, A>B?sinA>sinB.因此求得sinA=45后,可由45>153知A>B,故B为 锐角,从而易求cosB=1123.

在△ABC中,sinA=35,cosB=153,求cosC.

[解析] ∵cosB=153, ∴B为锐角,sinB= 1-cos2B=1123. ∵sinA=35,0<A<π, ∴当A为锐角时,cosA= 1-sin2A=45, 此时cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sinAsinB-cosAcosB=1265;

当A为钝角时,cosA=- 1-sin2A=-45 (*),

此时sin(A+B)=

3 5

×

5 13



???-45???

×

12 13

<0,这与0<A+B<π矛

盾,故此种情况下不成立.综上,cosC=1665.

探索延拓创新

命题方向4 角的变换

已知cos(α-β)=-

12 13

,cos(α+β)=

12 13

,且α-β∈

???π2,π???,α+β∈???32π,2π???.求cos2α,cos2β及角β的值.

[解析] 由α-β∈???π2,π???,且cos(α-β)=-1123,得sin(α-β) =153.
由α+β∈???32π,2π???,且cos(α+β)=1123. 得sin(α+β)=-153. ∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) =-1123×1123-???-153???×153=-111699.

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-1123×1123+???-153???×153=-1. 又∵α+β∈???32π,2π???, α-β∈???2π,π????2β∈???π2,32π???. ∴2β=π,则β=2π.

规律总结:讨论角的范围时,α-β一般看作α+(-β), 先求出-β的范围,再求α+(-β)的范围,可有效避免出错.

已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,求cos(α-β).

[解析] 由已知得 cosα-cosβ=12① sinα-sinβ=-13② ①2+②2得(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=14+19. 即2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=1336, ∴cosαcosβ+sinαsinβ=12×(2-1336)=5792, ∴cos(α-β)=5792.

名师辨误作答

β的值.

已知sinα= 55,sinβ= 1100,且α、β为锐角,求α+

[错解]

∵α为锐角,∴cosα=

1-sin2α=2

5

5 .

又β为锐角,∴cosβ=

1-sin2β=3

10 10 .

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ



55·3 1010+2 5 5·1100=

2 2.

由于0°<α<90°,0°<β<90°,

所以0°<α+β<180°,故α+β=45°或135°.

[辨析]

上述解法欠严密,仅由sin(α+β)=

2 2

以及0°<α+

β<180°就得到α+β=45°或α+β=135°是不正确的,因为角α、

β的范围是有一定限制的,事实上sinα= 55<12,sinβ= 1100<12, 故α<30°,β<30°,从而0°<α+β<60°,故应仅有α+β=45°.为 了避免出现上述失误我们可以选用两角和的余弦公式计算.

[正解] ∵α、β为锐角,sinα= 55,sinβ= 1100,∴cosα= 1-sin2α=255,cosβ= 1-sin2β=31010,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 55×31010+255× 1100= 22, ∵0< 55<12,α为锐角,∴0°<α<30°, 同理0<β<30°,∴0°<α+β<60°, ∴α+β=45°.

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个人收集整理,仅供交流学*!

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